2018-09-12
Источник гамма-фотонов расположен над детектором-поглотителем на расстоянии $l = 20 м$. С какой скоростью $v$ необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?
Решение:
Если источник будет двигаться вверх, то в отсутствие гравитационного поля будет иметь место "красное смещение". Гравитационное "фиолетовое смещение" может всё скомпенсировать и частота гамма-квантов, а следовательно и энергия, не изменится. Эффект доплера при удаляющемся источнике
$\nu_{1} = \nu_{0} \frac{ \sqrt{1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } } }{1 + \frac{V}{c} }$ (1)
Смещение, вызванное гравитацией
$\nu_{2} = \nu_{1} \left (1 + \frac{gH}{c^{2} } \right )$ (2)
Эффекты должны скомпенсировать друг друга:
$\nu_{2} = \nu_{0}$
$\frac{ \sqrt{1 - \frac{V^{2} }{c^{2} } } }{1 + \frac{V}{c} } \left ( 1 + \frac{gH}{c^{2} } \right ) = 1$
$\sqrt{1 - \frac{V}{c} } \left (1 + \frac{gH}{c^{2} } \right ) = \sqrt{1 + \frac{V}{c} }$
$c \left (1 + \frac{gH}{c^{2} } \right )^{2} - V \left ( 1 + \frac{gH}{c^{2} } \right )^{2} = c+ V$
$V = c \frac{ \left ( 1 + \frac{gH}{c^{2} } \right )^{2} - 1 }{ \left ( 1 + \frac{gH}{c^{2} } \right )^{2} + 1 }$
$V = 7,84 \cdot 10^{-7} м/с$