2018-09-12
Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой
$C_{m} = 3R \left [ 2 \frac{T}{ \theta_{D} } \int_{0}^{ \theta_{D} / T } \frac{xdx}{e^{x} - 1 } - \frac{ \theta_{D} / T }{ e^{ \theta_{D}/T } - 1 } \right ] $
Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах ($T \ll \theta_{D}$).
Решение:
$C_{m} = 3R \left [ 2 \frac{T}{ \theta_{D} } \int_{0}^{ \theta_{D} / T } \frac{xdx}{e^{x} - 1 } - \frac{ \theta_{D} / T }{ e^{ \theta_{D}/T } - 1 } \right ] $ (1)
Пусть $t = \frac{ \theta_{D} }{T}$, тогда при $T \ll \theta_{D}$ получим $t \rightarrow \infty$.
Запишем $\frac{ \frac{ \theta_{D} }{T} }{ e^{ \frac{ \theta_{D} }{T}} - 1} = \frac{t}{e^{t} - 1 }$ и найдем $lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t}{e^{t} - 1 } = 0$, так как $e^{t}$ возрастает быстрей $t$.
$\int_{0}^{ \infty} \frac{xdx}{e^{x} - 1} = \frac{ \pi^{2} }{6} $
Подставляем в формулу (1) и получаем:
$C_{m} = 3R \cdot 2 \frac{T}{ \theta_{D} } \frac{ \pi^{2} }{6} = \pi^{2}R \frac{T}{ \theta_{D} }$