2018-09-12
Молярная теплоемкость трехмерного кристалла
$C_{m} = 3R \left [ 12 \left ( \frac{T}{ \theta_{D} } \right )^{3} \int_{0}^{ \theta_{D} / T } \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } - \frac{3 ( \theta_{D} / T ) }{e^{ \theta_{D} / T } - 1 } \right ] $
Найти предельное выражение молярной теплоемкости при низких температурах ($\Delta \ll \theta_{D}$).
Решение:
$C_{M} = 3R \left ( 12 \left ( \frac{T}{ \theta_{D} } \right )^{3} \int_{0}^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } - \frac{3 \frac{ \theta_{D} }{T} }{e^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } - 1 } \right ) = 36 R \left ( \frac{T}{ \theta_{D} } \right )^{3} \int_{0}^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } - 9R \frac{ \frac{ \theta_{D} }{T} }{e^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } - 1 }$
При $T \ll \theta_{D}: \frac{ \theta_{D} }{T} = \infty$
$\int_{0}^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } = \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 } = \frac{ \pi^{4} }{15}$
$\frac{ \frac{ \theta_{D} }{T} }{ e^{ \frac{ \theta_{D} }{R} } - 1 } = \frac{ \infty}{ e^{ \infty} - 1 } = \frac{ \infty}{ \infty}$ - неопределенность
$lim_{ x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x} - 1 } = \frac{ \infty}{ \infty}$.
Пусть $f(x) = x; f^{ \prime}(x) = 1$
$g(x) = e^{x} - 1; g^{ \prime} (x) = e^{x}$
Тогда по правилу Лопиталя
$lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x) } = lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{ \prime}(x) }{g^{ \prime}(x) } = \frac{1}{e^{x} } = \frac{1}{ \infty} = 0$
Поэтому, в предельном случае $9R \frac{ \frac{ \theta_{D} }{T} }{e^{ \frac{ \theta_{D} }{T} } - 1 } = 0$
Получаем: $C_{M} = 36R \left ( \frac{T}{ \theta_{D} } \right )^{3} \frac{ \pi^{4} }{15} = \frac{12 \pi^{4} }{5} R \left ( \frac{T}{ \theta_{D} } \right )^{3}$