2018-08-08
Однородный стержень длиной $l = 1,2 м$, площадью поперечного сечения $S = 2 см^{2}$ и массой $m = 10 кг$ вращается с частотой $n = 2 с^{-1}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня, скользя при этом без трения по горизонтальной поверхности. Найти наибольшее напряжение $\sigma_{max}$ материала стержня при данной частоте вращения.
Решение:
На участок $\Delta l$ действует сила инерции
$dF_{i} = dm a = \rho S dl \omega^{2}r$
Результирующая сила
$F_{i} \int_{0}^{l} dF_{i} = \rho S \omega^{2} \int_{0}^{l} 2 dl$ где $r = x \sin \alpha$.
Поэтому $F_{i} = \rho S \omega^{2} \sin \alpha \int_{0}^{l} xdx$. По принципу Даламбера (в проекции на горизонтальную ось) $F \sin \alpha = F_{i}$ или так как $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{Sl}$, то $F = \frac{F_{i} }{ \sin \alpha} = \frac{ \rho S \omega^{2} \sin \alpha \int_{0}^{l} xdx }{ \sin \alpha} = \frac{m S \omega^{2} }{Sl } \int_{0}^{l} xdx = \frac{m \omega^{2} }{l} \int_{0}^{l} xdx$
Но $\omega = 2 \pi n$ - угловая скорость, а напряжение $\sigma = \frac{F}{S} = \frac{m (2 \pi n)^{2} }{Sl} \int_{0}^{l} xdx = \frac{4 \pi^{2} n^{2} m }{Sl} \frac{l^{2} }{2} = \frac{4 \pi^{2} n^{2} ml }{S} = \frac{4 \pi^{2} (2 с^{-1} )^{2} \cdot 10 кг \cdot 1,2 м }{2 \cdot 10^{-4} м^{2} } = 4,74 \cdot 10^{6} Па$