2018-08-08
По квадратной рамке из тонкой проволоки массой $m = 2 г$ пропущен ток $I = 6 А$. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период $T$ малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией $B = 2 мТл$. Затуханием колебаний пренебречь.
Решение:
На рамку с током в однородном магнитном поле будет действовать вращающий момент $M = EBS \sin \alpha$, в то же время $M = J \epsilon$, где $J$ - момент инерции рамки, $\epsilon$ - угловое ускорение;
$EBS \sin \alpha = - J \frac{d^{2} \alpha }{dt^{2} }$
Дня малых углов отклонения $\sin \alpha = \alpha \Rightarrow J \frac{d^{2} \alpha }{dt^{2} } + IBS \alpha = 0$
$\ddot{ \alpha} + \frac{IBS}{J} \alpha = 0$
$\frac{IBS}{J} = \omega^{2}$
$\omega = \frac{2 \pi }{T}$
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{IBS}{J} }$
Найдем $J$ дли рамки: $J = J_{1,2} + J_{3,4}$, где $J_{1,2}$ - момент ннерцнн вертикальных сторон рамки, $J_{3,4}$ - горизонтальных стержней (т.е. верхних к одному из которых привязана нить):
$J_{1,2} = 2 \frac{1}{12} \frac{ma^{2} }{4}$, где $a$ - длина стороны рамки.
$J_{3,4} = 2 \int \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} dm = 2 \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \frac{m}{4}$
$J = \frac{ma^{2} }{6}$
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ma^{2} }{6 IBa^{2} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{6IB} }$
$T = 1,04 с$.