2018-08-08
По кольцу радиусом $R$ течет ток. На оси кольца на расстоянии $d = 1 м$ от его плоскости магнитная индукция $B = 10 нТл$. Определить магнитный момент $p_{m}$ кольца с током. Считать $R$ много меньшим $d$.
Решение:
Закон Био-Савара-Лапласа
$dB = \frac{ \mu_{0} }{4 \pi} \frac{Idl}{r^{2} } = \frac{ \mu_{0} Idl }{4 \pi (R^{2} + d^{2} ) }$
$dB_{1} = dB \sin \phi; \sin \phi = \frac{R}{ \sqrt{R^{2} + d^{2} } }$
$B_{1} = int_{0}^{2 \pi R} \frac{ \mu_{0} IR dl }{4 \pi (R^{2} + d^{2} )^{3/2} } = \frac{ \mu_{0} I 2 \pi R^{2} }{4 \pi (R^{2} + d^{2} )^{3/2} }; B_{2} = \sum dB_{2} = 0$
Магнитная индукция, создаваемая круговым током на расстоянии $d$ от центра
$B = B_{1} = \frac{ \mu_{0} IR^{2} }{2(R^{2} + d^{2} )^{3/2} }$
По условию $R \ll d$
$B = \frac{ \mu_{0}IR^{2} }{2d^{3} } \rightarrow IR^{2} = \frac{2Bd^{3} }{ \mu_{0} }$
Магнитный момент контура с током
$p_{m} = IS=I \pi R^{2} = \frac{2 \pi B d^{3} }{ \mu_{0} } = 50 \cdot 10^{-3} А \cdot м^{2}$