2018-08-08
Обмотка катушки диаметром $d = 10 см$ состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину $l_{min}$ катушки, при которой магнитная индукция в середине ее отличается от магнитной индукции бесконечного соленоида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Сила тока, протекающего по обмотке, в обоих случаях одинакова.
Решение:
Магнитная индукция бесконечно длинного соленоида $B = \mu_{0} \mu n I$
Магнитная индукция в центре конечного соленоида
$B_{1} = \frac{ \mu \mu_{0} IN }{2} ( \cos \alpha_{1} - \cos \alpha_{2} ) = \frac{ \mu_{0} \mu In }{2} (2 \cos \alpha) = \mu_{0} \mu In \cos \alpha$, где $\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \alpha } } = \frac{1}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{d/2}{l/2} \right )^{2} } } = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + d^{2} } }$.
Тогда $\frac{ \Delta B}{B} = \frac{B - B_{1} }{ B} = \frac{ \mu_{0} \mu In - \frac{ \mu_{0} \mu In l }{ \sqrt{l^{2} + d^{2} } } }{ \mu_{0} \mu In } = 1 - \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + d^{2} } } = 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{l} \right )^{2} } }$
Отсюда $\frac{1}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{d}{l} \right )^{2} } } = 1 - \frac{ \Delta B}{B}$ или $1 + \left ( \frac{d}{l} \right )^{2} = \frac{1}{ \left ( 1 - \frac{ \Delta B}{B} \right )^{2} }$ или $\left ( \frac{d}{l} \right )^{2} = \frac{1}{ \left ( 1 - \frac{ \Delta B}{B} \right )^{2} } - 1$ или $d = l \sqrt{ \left ( \frac{1}{1 - \frac{ \Delta B}{B} } \right )^{2} - 1 } \Rightarrow$
Отсюда $l = \frac{d}{ \sqrt{ \left ( \frac{1}{1 - \frac{ \Delta B}{B} } \right )^{2} - 1 } } = \frac{0,1 м}{ \sqrt{ \frac{1}{(1 - 0,005)^{2} } }} = 0,996 м$