2018-08-08
Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от $I_{0} = 0$ до некоторого максимального значения в течение времени $\tau = 10 с$. За это время в проводнике выделилось количество теплоты $Q = 1 кДж$. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление $R$ его равно 3 Ом.
Решение:
Так как сила тока возрастает равномерно от нуля, то ее можно записать в виде $I = kt$, где $k$ - некоторая константа
Возьмем дифференциал от обоих частей уравнения:
$dI = d(kt)$
Так как $k = const$, то
$dI = kdt \Rightarrow \frac{dI}{dt} = k$ (1)
По закону Джоуля - Ленца
$Q = \int I^{2}R dt = \int_{0}^{ \tau} k^{2}t^{2}Rdt = \left . \frac{k^{2}t^{3}R }{3} \right |_{0}^{ \tau} = \frac{k \tau^{3}R }{3} \Rightarrow k = \sqrt{ \frac{3Q}{ \tau^{3}R } }$
С учетом (1) получим ответ:
$\frac{dI}{dt} = k = \sqrt{ \frac{3Q}{ \tau^{3}R } } = \sqrt{ \frac{3 \cdot 1000}{10^{3} \cdot 2 } } = 1 А/с$