2018-08-08
Металлический шар радиусом $R = 5 см$ окружен равномерно слоем фарфора толщиной $d = 2 см$. Определить поверхностные плотности $\sigma_{1}^{ \prime}$ и $\sigma_{2}^{ \prime}$ связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд $Q$ шара равен 10 нКл.
Решение:
$p_{1} = \sigma_{1}^{ \prime}, p = \xi \epsilon_{0}E$
$p_{2} = \sigma_{2}^{ \prime}, E = E_{0} - \frac{p}{ \epsilon_{0} }$
$\epsilon = \xi + 1$
$\sigma_{1}^{ \prime} = \xi \epsilon_{0} \left ( E_{01} - \frac{p}{ \epsilon_{0} } \right ) = \xi \epsilon_{0} E_{01} = \xi \sigma_{1}^{ \prime}$
$\sigma_{1}^{ \prime} (1 + \xi) = \xi \epsilon_{0} E_{01}$
$\sigma_{1}^{ \prime} = \frac{ \xi \epsilon_{0}E_{01} }{1 + \xi} = \frac{( \epsilon - 1) \epsilon_{0}E_{01} }{ \epsilon}$
$E_{01} = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$
$\sigma_{1}^{ \prime} = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } \frac{( \epsilon - 1) \epsilon_{0} }{ \epsilon} = - \frac{Q}{4 \pi R^{2} } \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon }$
$\sigma_{2}^{ \prime} = \frac{ ( \epsilon - 1) \epsilon_{0} E_{02} }{ \epsilon}, E_{02} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} (R + d)^{2} }$
$\sigma_{2}^{ \prime} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} (R + d)^{2} } \frac{( \epsilon - 1) \epsilon_{0} }{ \epsilon} = \frac{Q}{4 \pi (R + d)^{2} } \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon}$
$\sigma_{1}^{ \prime} = \frac{10^{-8} }{4 \cdot 3,14 \cdot 25 \cdot 10^{-4} } \frac{4}{5} = - 0,255 мкКл/м^{2}$
$\sigma_{2}^{ \prime} = \frac{10^{-8} }{4 \cdot 3,14 \cdot 49 \cdot 10^{-4} } \frac{4}{5} = 0,130 мкКл/м^{2}$