2018-07-15
На наклонную плоскость, угол которой у основания равен $45^{ \circ}$, с высоты 1 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 10 м. Сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с нее? Удар предполагается абсолютно упругим.
Решение:
Выберем оси координат как укатано на рис. Уравнение движения мяча $\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g} t^{2} }{2}$, и в проекциях на координатные оси $x - x_{0} = v_{0x}t + \frac{g_{x}t^{2} }{2}$ и $y - y_{0} = v_{0y}t + \frac{g_{y}t^{2} }{2}$, где $v_{0x} = v_{0} \sin \alpha, v_{0y} = v_{0} \cos \alpha, g_{x} = g \sin \alpha, g_{y} = - g \cos \alpha$. Будем считать, что в начальный момент времени мяч отскакивает от наклонной плоскости. Запишем уравнения движения по осям х и у:
$x = v_{0} \sin \alpha t + \frac{g \sin \alpha t^{2} }{2}$ и
$y = v_{0} \cos \alpha t - \frac{g \cos \alpha t^{2} }{2}$.
Условие падения на наклонную плоскость $y = 0$, откуда $\Delta t = \frac{2v_{0} }{g}$ промежуток времени между двумя последовательными ударами, $\Delta t$ не зависит от номера удара, т. е. мяч будет падать через одинаковые промежутки времени. В момент п-ro удара мяч находится в движении в течение времени $(n - 1) \Delta t$ и проходит вдоль оси х расстояние
$x = v_{0} \sin \alpha (n - 1) \Delta t + g \sin \alpha \frac{(n - 1)^{2} \Delta t^{2} }{2}$.
Пусть $x = l$,
$l = v_{0} \sin \alpha(n - 1)$.
Пусть $x = l, \Delta t = \frac{2v_{0} }{g}$, тогда
$l = \frac{2v_{0}^{2} }{g} (n - 1) \sin \alpha + \frac{2v_{0}^{2} }{g}(n - 1)^{2} \sin \alpha$,
т. е. получаем квадратное уравнение относительно $(n - 1)$:
$(n - 1)^{2} - (n - 1) \sin \alpha - \frac{lg}{2v_{0}^{2} } = 0$, где $v_{0}^{2} = 2gh$.
$(n - 1)_{1,2} = \frac{ - \sin \alpha \pm \sqrt{ \sin^{2} \alpha + \frac{l}{h} } }{2}$,
$(n - 1)_{1,2} = \frac{ - \frac{ \sqrt{2} }{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{2} + 10 } }{2}$,
очевидно, что $(n - 1) > 0, (n — 1) \approx 1,3, n = 2$.
Ответ: число ударов равно двум.