2018-07-15
В кольцо диаметром 40 см, находящееся на высоте 3 м над землей, кидают шары с начальной скоростью 10 м/с таким образом, чтобы при падении они пролетали через кольцо. Бросают шары с расстояния 5 м от середины кольца. Какими должны быть минимальный и максимальный углы бросания шаров, если их диаметр много меньше диаметра кольца?
Решение:
Запишем уравнения движения шара в системе координат изображенной на рис. в векторном виде, и в проекциях на оси координат: $\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$,
$x = v_{0} \cos \alpha t$
$y = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$.
При максимальном угле $\alpha_{1} \: x = l - \frac{D}{2}, y = h$, т. е. $l - \frac{D}{2} = v_{0} \cos \alpha t$, откуда получаем
$t = \frac{l - \frac{D}{2} }{v_{0} \cos \alpha }$
и подставляем в выражение
$h = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2} = v_{0} \sin \alpha \frac{l - \frac{D}{2} }{v_{0} \cos \alpha } - \frac{g \left ( l - \frac{D}{2} \right )^{2} }{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha \cdot 2 } = tg \alpha \left ( l - \frac{D}{2} \right ) - \frac{1}{ \cos^{2} \alpha } \left ( \frac{g \left ( l - \frac{D}{2} \right )^{2} }{2v_{0}^{2} } \right )$.
Испольчуя формулу $1 + tg^{2} \alpha = \frac{1}{ \cos^{2} \alpha }$, получаем квадратное уравнение относителыю $tg \alpha$:
$tg^{2} \alpha - \frac{2v_{0}^{2} }{g \left ( l - \frac{D}{2} \right ) } tg \alpha + 1 + \frac{2hv_{0}^{2} }{g \left ( l - \frac{D}{2} \right )^{2} } = 0$,
откуда $\alpha_{max} = 72^{ \circ}$. При минимальном угле $\alpha_{2} \: x = l + \frac{D}{2}, y = h$. Аналогично получаем уравнение
$tg^{2} \alpha - \frac{2v_{0}^{2} }{g \left ( l + \frac{D}{2} \right ) } tg \alpha + 1 + \frac{2hv_{0}^{2} }{g \left ( l + \frac{D}{2} \right )^{2} } = 0$
и решая его относительно $tg \alpha$, получаем $\alpha_{2} = 70^{ \circ}$
Ответ: $70^{ \circ} < \alpha < 72^{ \circ}$.