2018-07-15
Из ямы глубиной 4 м бросают камень с начальной скоростью 40 м/с под углом $30^{ \circ}$ к горизонту. Через какой промежуток времени камень будет находиться на высоте 3 м над поверхностью земли и какова будет его скорость? (Считайте, что $g \approx 10 м/с^{2}$.)
Решение:
Направим оси координат как показано па рис. Запишем уравнение движения тела $\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g} t^{2} }{2}$ и его проекции на оси координат $x - x_{0} = v_{0x}t + \frac{g_{x}t^{2} }{2}$ и $y = y_{0} = v_{0y}t + \frac{g_{y}t^{2} }{2}$, где $x_{0} = 0, y_{0} = - h_{1}, v_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v_{0y} = v_{0} \sin \alpha, g_{x} = 0, g-{y} = - g$. Таким образом, $x = v_{0} \cos \alpha t$ и $y = h_{1} + v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$. Найдем те моменты времени, когда тело будет находиться на высоте $h_{2}$ над землей, т. е. $y = h_{2}, h_{2} = h_{1} + v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$.
$t_{1,2} = \frac{v_{0} \sin \alpha \pm \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha + 2g(h_{1} - h_{2} ) } }{g}$,
$t_{1,2} = \frac{40 \cdot \frac{1}{2} \pm \sqrt{ 40^{2} \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot 10(4 - 3 ) } }{10}, t_{1} = 0,4 c; t_{2} = 3,6 c$.
Скорость тела определяется по формуле $\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{g}t$, или в проекциях на оси координат как $v_{x} = v_{0} \cos \alpha$ и $v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt$. Тогда
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \sqrt{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + (v_{0} \sin \alpha - gt )^{2} }$,
$v_{1} = \sqrt{40^{2} \cdot \left ( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right )^{2} + \left ( 40 \cdot \frac{1}{2} - 10 \cdot 0,4 \right )^{2} } = 37,6 м/с$,
$v_{2} = \sqrt{40^{2} \cdot \left ( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right )^{2} + \left ( 40 \cdot \frac{1}{2} - 10 \cdot 3,6 \right )^{2} } = 37,6 м/с$,
Найдем угол наклона вектора скорости к горизонту $\beta$:
$tg \beta = \frac{v_{y} }{v_{x} } = \frac{v_{0} \sin \alpha - gt }{v_{0} \cos \alpha }, tg \beta = \frac{40 \cdot \frac{1}{2} - 10 \cdot 0,4 }{40 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 0,47$.