2018-07-15
Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы высота его подъема была в два раза больше дальности его полета?
Решение:
Направим оси координат, как показано на рис. Начало координат совместим с начальным положением тела. Запишем уравнение движения тола: $\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g}t^{2}}{2}$, спроецируем это уравнение на координатные оси: $x - x_{0} = v_{0x} + \frac{g_{x}t^{2} }{2}$ и $y - y_{0} = v_{0y} + \frac{g_{y}t^{2} }{2}$, где $x_{0} = y_{0} = 0, v_{0x} = v_{0} \cos \alpha, v_{0y} = v_{0} \sin \alpha, g_{x} = 0, g_{y} = - g$.
Тогда уравнения движения запишем в виде: $x = v_{0} \cos \alpha t$ и $y = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$.
Для скорости в любой момент времени справедливо $\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{g}t$, а в скалярной форме $v_{x} = v_{0} \cos \alpha, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt$. В наивысшей точке подъема $v_{y} = 0$, откуда находим время подъема $t_{nод} = \frac{v_{0} \sin \alpha }{g}$ и высоту подъема $h = y_{max} = v_{0}t_{под} - \frac{gt_{под}^{2} }{2} = v_{0} \frac{v_{0} \sin \alpha }{g} - \frac{gv_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g^{2} } = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
В момент падения на землю $y = 0$, т. е. $0 = v_{0} \sin \alpha t_{пад} - \frac{gt_{пад}^{2} }{2}$, откуда $t_{пад1} = 0$ и $t_{пад1} = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$. Вдоль оси $x$ движение тела равномерное и за время $t_{пад2} = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$ тело проходит расстояние $l = x_{max} = v_{0} \cos \alpha t_{пад2} = \frac{v_{0} \cos \alpha \cdot 2v_{0} \sin \alpha }{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g}$. По условию $\frac{h}{l} = 2 = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g} \frac{g}{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha } = \frac{ \sin \alpha }{4 \cos \alpha} = \frac{tg \alpha}{4}, tg \alpha = 8, \alpha \approx 83^{ \circ}$.