2018-07-15
Человека, идущего вдоль трамвайных путей, каждые 7 мин обгоняет трамвай, а каждые 5 мин трамвай проходит навстречу. Как часто ходит трамвай?
Решение:
Расстояние между двумя движущимися трамваями будем считать постоянным и равным $l$. В первом случае скорость человека относительно трамвая равна ($v_{тр} - v_{чел}$), во втором случае — ($v_{тр} + v_{чел}$), где $v_{тр}$ и $v_{чел}$ — скорости трамвая и человека соответственно. Следовательно,
$l = (v_{тр} - v_{чел})t_{1} = (v_{тр} + v_{чел})t_{2}$,
откуда
$\frac{l}{t_{1}v_{чел} } = 1 - \frac{v_{чел} }{v_{тр} }$,
$\frac{l}{t_{2}v_{чел} } = 1 - \frac{v_{чел} }{v_{тр} }$.
Складывая почленно, получим
$\frac{l}{v_{тр} } \left ( \frac{1}{t_{1} } + \frac{1}{t_{2} } \right ) = 2$.
Если человек стоит, то мимо него трамвай проходит через промежутки времени $t_{x} = \frac{l}{v_{тр} }$.
$t_{x} = \frac{l}{v_{тр} } = \frac{2}{ \left ( \frac{1}{t_{1} } + \frac{1}{t_{2} } \right ) } = \frac{2t_{1}t_{2} }{t_{1} + t_{2} }$
$t_{x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{12} = 5,8 мин$.