2018-07-15
Под каким углом $\beta$ относительно линии АО (рис.) должен выстрелить человек в тире, если он целится в подвижную мишень? Человек стреляет в тот момент времени, когда мишень находится в точке В. Угол ВАО равен $\alpha$. Скорость пули $v_{1}$, скорость мишени $v_{2}, AO = l$.
Решение:
Для попадания пули в мишень (рис.) необходимо, чтобы пуля и мишень попали в точку С одновременно, т. е.
$\frac{BC}{v_{2} } = \frac{AC}{v_{1} }$.
Из $\Delta ACO$ следует, что $AC = \frac{l}{ \cos \beta}$. Из $\Delta ACO$ и $\Delta ABO$ получим
$BC = l tg \beta - l tg \alpha$,
откуда
$\frac{l(tg \beta - tg \alpha)}{v_{2} } = \frac{l}{ \cos \beta v_{1}}$,
$(tg \beta - tg \alpha ) \cos \beta = \frac{v_{2} }{v_{1} }$,
$\frac{ \sin \beta \cos \alpha - \sin \alpha \cos \beta}{ \cos \alpha} = \frac{v_{2} }{v_{1} }$,
$\sin ( \beta - \alpha) = \frac{v_{2} }{v_{1} } \cos \alpha$,
откуда
$\beta = \alpha + arcsin \left ( \frac{v_{2} }{v_{1} } \cos \alpha \right )$.