2018-07-15
По шоссе со скоростью 10 м/с движется автобус, человек находится на расстоянии 100 м от шоссе и 300 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы выйти в какой-либо точке шоссе раньше автобуса или одновременно с ним? Скорость человека 5 м/с.
Решение:
Чтобы автобус и человек встретились в точке D (рис.), необходимо $|BD| = v_{1}t_{1}$ и $|AD| = v_{2}t_{2}$, где $t$ — время движения автобуса и человека. Из $\Delta ACD \: \sin \beta = \frac{d}{AD}$. По теореме синусов из $\Delta BAD \: \frac{l}{ \sin \beta} = \frac{BD}{ \sin \alpha}$, откуда $BD = \frac{l \sin \alpha}{ \sin \beta}$, и $v_{1}t_{1} = \frac{l \sin \\alpha}{ \sin \beta} = \frac{l \sin \alpha}{ d} v_{2}t_{2}$. Для $\sin \alpha$ получаем $\sin \alpha = \frac{v_{1}t_{1} }{v_{2}t_{2} } \frac{d}{l}$. При условии $t_{1} = t_{2} \sin \alpha = \frac{v_{1}d }{v_{2}l }, \sin \alpha = \frac{10}{5} \frac{100}{300} = \frac{2}{3}$, откуда $\alpha_{1} = arcsin \frac{2}{3} \approx 42^{ \circ}$ и $\alpha_{2} = 180^{ \circ} - arcsin \frac{2}{3} \approx 138^{ \circ}$.
Ответ: $42^{ \circ} \leq \alpha \leq 138^{ \circ}$; в любую из точек шоссе, находящуюся между точками D и Е, человек прибежит раньше автобуса.