2018-07-08
Релятивистская частица с массой покоя $m$ в результате столкновения с покоившейся частицей массы $M$ возбуждает реакцию рождения новых частиц: $m + M \rightarrow m_{1} + m_{2} + \cdots$, где справа записаны массы покоя возникших частиц. Воспользовавшись инвариантностью величины $E^{2} - p^{2}c^{2}$, показать, что пороговая кинетическая энергия частицы $m$ для этой реакции определяется формулой $T_{th} = \frac{(m_{1} + m_{2} + \cdots )^{2} - (m - M)^{2} }{2M} c^{2} $.
Решение:
Реакция
$m + M \rightarrow m_{1} + m_{2} + \cdots$
Правая сторона, энергия импульсов ($E_{1}, c \vec{p}_{1}$), ($E_{2}, c \vec{p}_{2}$) и т. д. Слева энергия импульс частицы m равен ($E, c \vec{p}$), а другой частицы - ($Mc^{2}, \vec{O}$), где, обычные отношения
$E^{2} - c^{2} \vec{p}^{2} = m^{2} c^{4}$ и т.д.
Из сохранения энергии импульса видим, что
$(E + Mc^{2})^{2} - c^{2} \vec{p}^{2} = ( \sum E_{i} )^{2} - ( \sum c \vec{p}_{i})^{2}$
Левая сторона
$m^{2}c^{4} + M^{2}c^{4} + 2Mc^{2}E$
Мы оцениваем правую сторону в системе отсчета, где $\sum \vec{p}_{i} = 0$ (система отсчета центра масс продукта распада).
Тогда правая сторона $= ( \sum E_{i} )^{2} \geq ( \sum m_{i}c^{2} )^{2}$
потому что все энергии положительны. Поэтому мы имеем результат
$E \geq \frac{( \sum m_{i} )^{2} - m^{2} - M^{2} }{2M} c^{2}$
или, так как $E = mc^{2} + T$, мы видим, что $T \geq T_{th}$, где
$T_{th} = \frac{ ( \sum m_{i} )^{2} - (m+M)^{2} }{ 2M} c^{2}$