2018-06-15
Температура $T$ воздуха у поверхности Земли равна 300 К; при увеличении высоты она понижается на $\Delta T = 7 мК$ на каждый метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достигнет высоты $h=8 км$?
Решение:
Скорость звука в воздухе $v = \sqrt{ \frac{ \gamma RT}{ \mu} }$, где $\gamma = \frac{C_{p} }{C_{V} } = \frac{i+ 2}{i} = \frac{5 + 2}{5} = 1,4$ - показатель адиабаты. Температура меняется по закону $T = T_{0} - \frac{ \Delta T}{ \Delta h} y = 300 - 0,007y $. Тогда $v = \sqrt{ \frac{1,4 \cdot 8,31 \frac{Дж}{К \cdot моль} }{0,029 кг/моль } T } = 20,03 \sqrt{300 - 0,007y }$ или $\frac{dy}{dt} = 20,03 \sqrt{300 - 0,007y } = 1,676 \sqrt{ 42857,1 - y }$. Разделим переменные $\frac{dy}{ \sqrt{42857,1 - y} } = 1,676 dt$. Интегрируем $- \sqrt{42857,1 - y } = 1,676t + C$. При $t = 0$ $y = 0 \Rightarrow C = - 2 \sqrt{42857,1 } = -414 \Rightarrow t = 247,02 - 1,193 \sqrt{42857,1 - y}$. При $y = h = 8000 м$
$t = 24,25 с$