2018-06-15
Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом $\epsilon = 0,5$. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)?
Решение:
Закон сохранения момента импульса:
$J_{1} \omega_{1} = J_{2} \omega_{2}$ (1)
Момент инерции и угловая скорость:
$J = mR^{2}, \omega = \frac{v}{R}$ (2)
С учетом формул (2) для нашего случая (1) примет вид:
$mr_{1}^{2} \frac{v_{1} }{r_{1} } = mr_{2}^{2} \frac{v_{2} }{r_{2} }$
$r_{1}v_{1} = r_{2}v_{2}$
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{r_{2} }{r_{1} }$ (3)
Для эксцентриситета справедлива формула
$\epsilon = \frac{c}{a}$, где (4)
$a = \frac{1}{2}(r_{1} + r_{2} )$ - большая полуось
$c = \frac{1}{2}(r_{2} - r_{1} )$ - фокальное расстояние
Поэтому формулу (4) можно переписать в виде
$\epsilon = \frac{r_{2} - r_{1} }{r_{1} + r_{2} }$
$\epsilon (r_{1} + r_{2} ) = r_{2} - r_{1}$
$r_{2}(1 - \epsilon) = r_{1}(1 + \epsilon)$
$\frac{r_{2} }{r_{1} } = \frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}$ (5)
Подставим (5) в (3) и получим
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}$
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{1 + 0,5}{1 - 0,5} = 3$