2018-06-15
Вычислить момент инерции $J$ проволочного прямоугольника со сторонами $a = 12 см$ и $b = 16 см$ относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с линейной плотностью $\tau = 0,1 кг/м$.
Решение:
$J = mr^{2}, r = \frac{a}{2}$
$J = \frac{ma^{2} }{4}, m = \tau l , dm = \tau dl$
$J_{1} = \int_{0}^{b} dJ = \int_{0}^{b} \tau \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} dl = \frac{a^{2} }{4} \int_{0}^{b} \tau dl = \frac{a^{2} }{4} \tau b$
$J_{2} = \frac{1}{12} ma^{2} = \frac{1}{12} \tau a^{3}, m = \tau a$
$J = 2(J_{1} + J_{2} ) = 2 \left ( \frac{1}{4} a^{2} \tau b + \frac{1}{12} \tau a^{3} \right ) = \frac{1}{2} a^{2} \tau \left ( b + \frac{1}{3} a \right ) = 1,44 \cdot 10^{-4} кг \cdot м^{2}$