2018-06-15
Определить момент инерции $J$ тонкого однородного стержня длиной $l=30 см$ и массой $m = 100 г$ относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
Решение:
1) Выведем формулу. На расстоянии $x$ от конца стержня участок $dx$ имеет массу $dm = \rho S dx$, где $\rho$ - плотность материала стержня, $S$ - сечение стержня. Стержень рассмотрим как множество материальных точек. Момент инерции каждой из них по формуле $J= mr^{2}$ будет равен $x^{2} dm = \rho S x^{2}dx$, а общий момент инерции стержня
$J = \int_{0}^{l} \rho Sx^{2}dx = \left . \frac{x^{2} }{3} \rho S \right |_{0}^{l} = \frac{l^{3} }{3} \rho S$ (1)
Масса всего стержня $m = \rho Sl\Rightarrow \rho S = \frac{m}{l}$ (2)
Подставим (2) в (1):
$J = \frac{l^{3} }{3} \frac{m}{l} = \frac{1}{3}ml^{2}; J = \frac{1}{3} \cdot 0,1 \cdot 0,3^{2} = 3 \cdot 10^{ -3} кг \cdot м^{2}$
2) Используем теорему Штейнера $J = J_{0} + ma^{2}$ $J_{0}$ и результат из пред пункта (ищем $J_{0} $)
$\frac{1}{3}ml^{2} = J_{0} + m \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} \Rightarrow J_{0} = ml^{2} \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right ) = \frac{ml^{2} }{12}$
$J = J_{0} = \frac{1}{12} ml^{2} = \frac{1}{12} \cdot 0,1 \cdot 0,3^{2} = 7,5 \cdot 10^{ -4} кг \cdot м^{2}$
3) по теореме Штейнера и пункта (2) получим
$J = \frac{1}{12} ml^{2} + m \left ( \frac{l}{3} - \frac{l}{4} \right )^{2} = ml^{2} \left ( \frac{1}{12} - \frac{1}{6^{2} } \right ) = \frac{4}{36} ml^{2} = \frac{1}{9} ml^{2}$
$J = \frac{1}{9} \cdot 0,1 \cdot 0,3^{2} = 0,001 кг \cdot м^{2}$