2018-06-15
Два шара массами $m$ и $2m$ ($m = 10 г$) закреплены на тонком невесомом стержне длиной $l=40 см$ так, как это указано на рис. а, б. Определить моменты инерции $J$ системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.
Решение:
Так как стержень невесомый, то момент инерции системы относительно заданной оси равен сумме моментов инерции $J_{1}$ и $J_{2}$ первого и второго шара относительно этой оси, т.е.
$J = J_{1} + J_{2}$. (1)
По условию, размерами шаров можно пренебречь. Следовательно моменты инерции шаров рассчитываем как для материальных точек.
Момент инерции материальной точки массой $m$ относительно оси, находящийся на расстоянии $r$ от точки, определяется выражением:
$J = mr^{2}$.
Для первого и второго шаров соответственно получаем:
$J_{1} = m_{1}r_{1}^{2}; J_{2} = m_{2}r_{2}^{2}$.
Подставляя эти выражения в формулу (1) получим:
$J = m_{1}r_{1}^{2} + m_{2}r_{2}^{2}$ (2)
В первом случае, как следует из рисунка а), имеем:
$m_{1} = m; r_{1} = \frac{l}{2}; m_{2} = 2m; r_{2} = l$.
Следовательно, по формуле (2)
$J = m \frac{l^{2} }{4} = 2ml^{2} = \frac{9}{4} ml^{2}$
Подставим числовые значения $m$ и $l$ и произведем вычисления
$J = \frac{9}{4} \cdot 10^{-2} \cdot 0,4^{2} = 3,6 \cdot 10^{-3} кг \cdot м^{2}$
Во втором случае рисунок б) имеем:
$m_{1} = 2m; r_{1} = \frac{l}{2}; m_{2} = m; r_{2} = l$
Следовательно, по формуле (2)
$J = 2m \frac{l^{2} }{4} + ml^{2} = \frac{3}{2}ml^{2}$
Произведем вычисления
$J = \frac{3}{2} \cdot 10^{-2} \cdot 0,4^{2} = 2,4 \cdot 10^{-3} кг \cdot м^{2}$