2018-06-08
Шар массой $m = 1,8 кг$ сталкивается с покоящимся шаром большей массы $M$. В результате прямого упругого удара шар потерял $w=0,36$ своей кинетической энергии $T_{1}$. Определить массу большего шара.
Решение:
Кинетическая энергия до удара: $T_{1} = \frac{mv_{1}^{2} }{2}$
Энергия меньшего шара после удара: $T_{2} = \frac{mv_{2}^{2} }{2}$
По условию $T_{2} = (1 - w) T_{1}$ или $\frac{mv_{2}^{2} }{2} = (1 - w) \frac{mv_{1}^{2} }{2} \Rightarrow v_{2} = v_{1} \sqrt{1 - w}$ (1)
По закону сохранения импульса:
$mv_{1} = - mv_{2} + Mv_{м}$
$m(v_{1} + v_{2} ) = Mv_{м} \Rightarrow M = \frac{m(v_{1} + v_{2} ) }{v_{м} }$ (2)
Подставим (1) в (2)
$M = \frac{mv_{1} (1 + \sqrt{1 - w} ) }{v_{м} }$ (3)
Т.к. удар упругий, то выполняется закон сохранения энергии, $w T_{1}$ энергия передается шару массы $M: T_{м} = wT_{1} $
$\frac{Mv_{м}^{2} }{2} = w \frac{mv_{1}^{2} }{2} \Rightarrow v_{м} = \sqrt{ \frac{wm}{M} } v_{1}$ (4)
Подставим (4) в (3):
$M = \frac{mv_{1} (1 + \sqrt{1 - w} ) }{v_{2} \sqrt{ \frac{wm}{M} } }$
Возведем обе части в квадрат:
$M^{2} = \frac{m^{2} (1 + \sqrt{1 - w} )^{2} M}{wm} \Rightarrow M = \frac{m(1 + \sqrt{1 - w} )^{2} }{w}$
$M = \frac{1,8 (1 + \sqrt{1- 0,36} )^{2} }{0,36} = 16,2 кг$