2018-06-08
Сосуд с жидкостью вращается с частотой $n = 2 с^{-1}$ вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол $\phi$ наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии $r = 5 см$ от оси?
Решение:
Сосуд вращается с угловой скоростью $ \omega$:
$\omega = 2 \pi n$
Выделим элемент жидкости $\Delta m$, находящийся на расстоянии $r$ от оси вращения.
На этот элемент действует сила тяжести $\Delta m \vec{g}$, где $\vec{g}$ - ускорение свободного падения, которое направлено вниз и по модулю равно: $g = 9,8 /^{2}$. Кроме этого на элемент действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = - \Delta m \vec{a}_{n}$, где $\vec{a}_{n}$ - нормальное ускорение этого элемента во вращающемся сосуде. Нормальное ускорение по модулю равно: $a_{n} = \omega^{2}r$.
Результирующая сила: $\vec{F} = \vec{F}_{ин} + \Delta m \vec{g} = \Delta m ( \vec{g} - \vec{a} )$, направлена под углом $\alpha$ к вертикали:
$tg \alpha = \frac{a_{n} }{g} = \frac{ \omega^{2}r }{g} = \frac{2 \pi^{2}n^{2}r }{g}$.
В каждой точке поверхности жидкости перпендикулярна результирующей силе. Значит, на расстоянии $r$ от оси, поверхность жидкости наклонена по углом $\phi$ к горизонту:
$\phi = \alpha = arctg \frac{2 \pi^{2} n^{2}r }{g} = arctg \frac{2 \pi^{2} \cdot 2^{2} \cdot 0,05 }{9,8} = 38^{ \circ}51^{ \prime}$.