2018-06-08
Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом $R = 11,2 м$. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии $l = 0,8 м$ от поверхности цилиндра. Коэффициент трения $f$ покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью $v_{min}$ должен ехать мотоциклист? Каков будет при этом угол $\phi$ наклона его к плоскости горизонта?
Решение:
$\vec{F}_{тр} + \vec{N} + m \vec{g} = m \vec{a}_{ц}$ (1)
$a_{ц} = \frac{v_{min}^{2}}{R - l}$ (2)
$F_{тр} = fN$ (3)
Запишем (1) в проекции на ось х и у, а также подставим значения (2) и (3):
$x: N = m \frac{v_{min}^{2} }{R - l}$
$y: F_{тр} - mg = 0$
$\begin{cases} N = m \frac{v_{min}^{2} }{R - l} \\ fN = mg \end{cases}$
Решаем
$fm \frac{v_{min}^{2} }{R - l} = mg$
$v_{min}^{2} = \frac{(R - l)g}{f} \Rightarrow v_{min} = \sqrt{ \frac{(R - l)g}{f} }$
$v_{min} = \sqrt{(11,2 - 0,8)9,8/0,6 } = 13 м/с$
Для сохранения равновесия равнодействующая сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{N}$ должна быть направлена по прямой, проходящей через центр тяжести. Поэтому
$tg \phi = \frac{F_{тр} }{N} = \frac{fN}{N} = f \Rightarrow \phi = arctg f$
$\phi = arctg 0,6 = 31^{ \circ}$