2018-06-08
Парашютист, масса которого $m=80 кг$, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени $\Delta t$ скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления $k = 10 кг/с$. Начальная скорость парашютиста равна нулю.
Решение:
$F_{c} = -kv, m \frac{dv}{dt} = mg - kv^{2}$
$\frac{dv}{mg - kv} = \frac{dt}{m}, \int_{0}^{0,9 v_{уст} } \frac{dv}{mg - kv} = \int_{0}^{ \tau} \frac{dt}{m}$
$- \frac{1}{k} \left . ln(mg - kv) \right |_{0}^{0,9v_{уст} } = \frac{ \tau}{m}, - \frac{1}{k} ln \frac{mg - 0,9kv_{уст} }{mg} = \frac{ \tau}{m}$
$\tau = \frac{m}{k} ln \frac{mg}{mg - 0,9 kv_{уст} }$
$v_{уст}$ найдем из условия $mg - kv_{уст} = 0$
$v_{уст} = \frac{mg}{k}, \tau = \frac{m}{k} ln \frac{mg}{mg - 0,9 \frac{mgk}{k} }$
$\tau = \frac{m}{k} ln 10 = 18,4 с$