2018-06-08
Моторная лодка массой $m = 400 кг$ начинает двигаться по озеру. Сила тяги $F$ мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления $F_{c}$ пропорциональной скорости, определить скорость $v$ лодки через $\Delta t = 20 с$ после начала ее движения. Коэффициент сопротивления $k = 20 кг/с$.
Решение:
$F_{c} = - kv, m \frac{dv}{dt} = \vec{F}_{c} + \vec{F}, m \frac{dv}{dt} = F - kv$
$\frac{dv}{F - kv} = \frac{dt}{m}, \int_{0}^{v} \frac{dv}{F - kv} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{m}, - \frac{1}{k} ln (F - kv) = \frac{k}{m}$
$- \frac{1}{k} ln \frac{F - kv}{F} = \frac{t}{m}, ln \frac{F - kv}{F} = - \frac{kt}{m}, \frac{F - kv}{F} = e^{ - \frac{kt}{m} }$
$v = \frac{F}{k} \left ( 1 - e^{- \frac{kt}{m} } \right ) = 6,3 м/с$