2018-05-17
Монгольфьер (аэростат с нерастяжимой открытой снизу оболочкой, наполненной горячим воздухом) совершал горизонтальный полет при атмосферном давлении $P_{0}$ и температуре $T_{0}$. В результате пересечения атмосферного фронта давление снаружи упало до $P_{1}$, а температура до $T_{1}$, и монгольфьер начал опускаться. До какой температуры нужно нагреть воздух в монгольфьере, чтобы он перестал опускаться? Первоначально температура воздуха внутри аппарата была равна $T$.
Решение:
Так как изначально монгольфьер совершал горизонтальный полёт, то действующая на него сила тяжести $Mg + \rho_{вн1}Vg$ уравновешивалась силой Архимеда $\rho_{сн1}Vg$:
$Mg + \rho_{вн1}Vg = \rho_{сн1}Vg$, (1)
где $M$ - масса монгольфьера без находящегося внутри воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, $V$ - объём монгольфьера, a $\rho_{сн1}$ и $\rho_{вн1}$ — плотности воздуха снаружи и внутри монгольфьера до прохождения атмосферного фронта, соответственно. После прохождения атмосферного фронта и соответствующего подогрева воздуха внутри монгольфьера уравнение его равновесия запишется аналогично (1):
$Mg + \rho_{вн2} Vg = \rho_{сн2}Мg$, (2)
где $\rho_{сн2}$ и $\rho_{вн2}$ — плотности воздуха снаружи и внутри монгольфьера после прохождения атмосферного фронта, соответственно.
Запишем закон Менделеева — Клапейрона для воздуха, считая его идеальным газом:
$PV = \frac{ \rho V}{ \mu} RT$,
где $P, V, T, \rho, \mu$ — давление, объём, температура, плотность и молярная масса воздуха, a $R$ — универсальная газовая постоянная. Выразим отсюда плотность воздуха:
$\rho = \frac{ \mu}{R} \frac{P}{T}$. (3)
Вычтем из (2)(1), и, сократив одинаковые сомножители, получим:
$\rho_{вн1} - \rho_{вн1} = \rho_{сн2} - \rho_{сн1}$.
Так как оболочка монгольфьера снизу открыта, то давление воздуха внутри монгольфьера такое же, как и снаружи.
Подставив в предыдущее выражение соответствующие плотности воздуха из (3), использовав необходимые температуры и давления, а также сократив одинаковые сомножители, получим:
$\frac{P_{1} }{T_{1} } - \frac{P_{0} }{T_{0} } = \frac{P_{1} }{T_{x} } - \frac{P_{0} }{T}$,
где $T_{x}$ — искомая температура. Выразив её из предыдущего уравнения, получим
Ответ: $T_{x} = \frac{T_{1} }{ 1 - \frac{P_{0} }{P_{1} } \left ( \frac{T_{1} }{T_{0} } - \frac{T_{1} }{T} \right ) }$.