2018-05-17
На гладкое проволочное кольцо массы $M$ надеты две одинаковые бусинки массой $m$, которые первоначально находились на противоположных сторонах кольца. Кольцу ударом сообщили скорость $u$ в направлении, перпендикулярном к линии, соединяющей центры бусинок. Найти скорости бусинок к моменту их столкновения. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
Пусть $vec{v}$ — искомая скорость одной из бусинок. Её можно представить в виде векторной суммы скорости кольца $\vec{v}_{к}$, направленной вдоль $\vec{u}$, н скорости бусинки относительно кольца $\vec{v}^{ \prime}: \vec{v} = \vec{v}_{к} + \vec{v}^{ \prime}$. Перед соударением $\vec{v}^{ \prime}$ направлена по касательной к кольцу, а следовательно, перпендикулярна направлению $\vec{u}$. Значит, проекция $\vec{v}$ на это направление равна $v_{к}$.
Поэтому, согласно закону сохранения импульса, записанному в проекции на направление $\vec{u}$,
$Mu = (M + 2m)v_{к}$. (1)
По закону сохранения энергии,
$\frac{Mu^{2}}{2} = \frac{Mv_{к}^{2} }{2} + \frac{2mv^{2} }{2}$. (2)
Выразив $v_{к}$ из (1) и подставив в (2), получим
ответ: $v = \frac{ \sqrt{2M(M + m) } }{M + 2m} u$.