2018-05-17
Многоступенчатая ракета стартует с поверхности Земли и летит с постоянным ускорением под некоторым постоянным углом к горизонту. Каждая ступень работает одинаковое время, после чего отделяется и падает по баллистической траектории (без двигателей). Первая ступень упала на расстоянии $S_{1}$ от места старта. На каком расстоянии упадет вторая ступень? Для полёта на указанные расстояния поверхность Земли считать плоской. Влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Проще всего решить эту задачу из соображений размерности.
Расстояние $S$ от места старта до точки падения ступени зависит только от четырёх величин: времени $t$, в течение которого она двигалась в составе ракеты; горизонтальной и вертикальной проекций ускорения ракеты $a_{x}, a_{y}$; и ускорения свободного падения $g$.
Ускорение имеет размерность $[длина]/[время]^{2}$. Следовательно, величину размерности длины можно получить из величин размерности ускорения и времени единственным способом:
$[длина] = [время]^{2} \cdot [ускорение]$.
Поскольку в постановке задачи участвуют три величины $a_{x}, a_{y}, g$ размерности ускорения, то в выражение для $S$ могут войти также безразмерные отношения $a_{x}/g, a_{y}/g$ этих ускорений. Таким образом, выражение для $S$ должно иметь следующий вид:
$S = t^{2} \cdot g \cdot f \left ( \frac{a_{x} }{g}, \frac{a_{y} }{g} \right )$, (1)
где $f$ — некоторая безразмерная функция отношений $a_{x}/g$ и $a_{y}/g$. (конкретный вид этой функции для решения задачи не важен.)
Обозначим время движения первой и второй ступени в составе ракеты $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно; расстояние от места старта до места падения второй ступени $S_{2}$. Тогда, согласно (1),
$S_{1} = t_{1}^{2} \cdot g \cdot f \left ( \frac{a_{x} }{g}, \frac{a_{y} }{g} \right )$, (2)
$S_{2} = t_{2}^{2} \cdot g \cdot f \left ( \frac{a_{x} }{g}, \frac{a_{y} }{g} \right )$, (3)
откуда
$\frac{S_{2}}{S_{1} } = \left ( \frac{t_{2} }{t_{1} } \right )^{2}$. (4)
Здесь мы учли, что величины $a_{x}, a_{y}, g$ для траекторий обеих ступеней — одни и те же. Так как $t_{2}/t_{1} = 2$ по условию задачи, то из (4) получим
ответ: $S_{2} = 4S_{1}$.
Примечание: Отметим, что с помощью таких же рассуждений можно показать, что расстояние между любыми характерными точками траектории второй ступени в 4 раза больше расстояния между соответствующими точками траектории первой ступени. Иными словами, эти траектории подобны с коэффициентом подобия $k = 4$.