2018-05-17
По электрической цепи, состоящей из большого числа одинаковых резисторов и источника напряжения (см. рис.), течёт ток. Найти отношение теплоты, которая выделяется на сопротивлении А в единицу времени, к теплоте, выделяющейся на сопротивлении В в единицу времени.
Решение:
Пусть через источник течёт ток $I$. Участок цепи, состоящий из трёх параллельно соединённых сопротивлений, включая сопротивление А, включён в цепь последовательно с источником. Поэтому, через него течёт тот же ток $I$. Поскольку эти три сопротивления одинаковы, через них текут одинаковые токи $I_{A}$, сумма которых, по правилу Кирхгофа равна $I$. Следовательно,
$I_{A} = \frac{I}{3}$. (1)
Рассмотрев аналогично участок цепи, состоящий из двух параллельно соединённых сопротивлений, включая сопротивление В, получим
$I_{B} = \frac{I}{2}$, (2)
где $I_{B}$ — ток, текущий через сопротивление В.
По закону Джоуля — Ленца, при пропускании постоянного тока $I$ на сопротивлении $R$ за промежуток времени $\Delta t$ выделяется количество теплоты $\Delta Q = I^{2}R \Delta t$. Соответственно, количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении $R$ в единицу времени, равно
$W = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = I^{2}R$.
Поскольку все сопротивления одинаковы, отсюда следует, что
$\frac{W_{A} }{W_{B} } = \frac{I_{A}^{2} }{I_{B}^{2} }$.
Подставив сюда (1) и (2), получим
ответ: $\frac{W_{A} }{W_{B} } = \frac{4}{9}$.