2018-05-17
На дно цилиндрического стакана радиуса $R$ положили шарик радиуса $r (r < R)$, а сверху на него шар радиуса $R$ и массы $M$. С какой силой $F$ верхний шар давит на боковую стенку стакана? Трения нет. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
На верхний шарик действуют: сила тяжести, направленная вниз, сила реакции $F$ со стороны боковой стенки, направленная горизонтально (равная по третьему закону Ньютона искомой силе), а также сила реакции $N$ со стороны нижнего шара, направленная вдоль линии, соединяющей центры шаров. Запишем условие равновесия верхнего шара в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$N \sin \alpha = F$, (1)
$N \cos \alpha = Mg$. (2)
Здесь $\alpha$ — угол между вертикалью и линией, соединяющей центры шаров. Разделив (1) на (2) и выразив $F$, получим
$F = Mg tg \alpha$. (3)
Тангенс угла $\alpha$ находим из прямоугольного треугольника с гипотенузой, соединяющей центры шаров, и катетами, направленными горизонтально и вертикально (см. рис.). Длина гипотенузы треугольника равна $R + r$, а длина катета, лежащего напротив угла $\alpha$ равна $R - r$. По теореме Пифагора находим длину второго катета $2 \sqrt{Rr}$ и
$tg \alpha = \frac{R - r}{2 \sqrt{Rr} }$. (4)
Подставив (4) в (3), получим
ответ: $F = Mg \frac{R - r}{2 \sqrt{Rr} }$.
*Примечание: это уравнение можно также получить из условия равенства моментов сил, действующих на верхний шар, относительно точки касания шаров $FR \cos \alpha = MgR \sin \alpha$.