2018-05-17
Внутри высокого вертикального сосуда к неподвижной точке подвешены на нитях два груза одинаковой плотности, имеющих форму прямоугольных параллелепипедов (см. рисунок). Сосуд медленно наполняют жидкостью и измеряют зависимость силы натяжения $T_{1}$ верхней нити от уровня жидкости $h$ в сосуде. График этой зависимости представлен на рисунке. Определите силу натяжения $T_{2}$ нижней нити в момент, когда вода скроет нижний груз.
Решение:
Сила натяжения $T_{1}$ не меняется, если не меняются архимедовы силы, действующие на грузы. Поэтому, горизонтальные участки 1, 3, 5 на графике отвечают случаям, когда уровень жидкости находится ниже нижнего груза, между верхним и нижним, и выше верхнего, соответственно. Наклонные участки 2 и 4 соответствуют частичному погружению нижнего и верхнего грузов.
На участке 1 сила натяжения нити $T_{1} = 12 Н$ равна сумме весов верхнего $P_{1}$ и нижнего $P_{2}$ грузов:
$12 Н = P_{1} + P_{2}$. (1)
На участке 3 сила натяжения нити $T_{1} = 6 Н$ равна сумме $P_{1}$ и $P_{2}$ за вычетом силы Архимеда $F_{A2}$, действующей на нижний груз:
$6 Н = P_{1} + P_{2} - F_{A2}$, (2)
На участке 5 сила натяжения нити $T_{1} = 3 Н$ равна сумме $P_{1}$ и $P_{2}$ за вычетом сил Архимеда $F_{A2}$ и $F_{A1}$. действующих на нижний и верхний груз:
$3 Н = P_{1} + P_{2} - F_{A2} - F_{A1}$. (3)
Вычтя (2) из (1), получим
$F_{A2} = 6 Н$.
А вычтя (3) из (2), получим
$F_{A1} = 3 Н$.
На 3-м участке графика нижний груз полностью погружен в воду и искомая сила натяжения $T_{2}$ нижней нити равна разности сил тяжести и Архимеда, действующих на груз:
$T_{2} = P_{2} - F_{A2}$. (4)
Чтобы найти $P_{2}$, заметим, что, так как грузы выполнены из одинакового материала, отношение $P_{2}/P_{1}$ равно отношению их объёмов, а, следовательно, сил Архимеда:
$\frac{P_{2} }{P_{1} } = \frac{F_{A2} }{F_{A1} } = 2$. (5)
Из (1) и (5) найдём
$P_{2} = 8 Н$.
Подставив найденные значения $P_{2}$ и $F_{A2}$ в (4), получим
ответ: $T_{2} = 2 Н$.
Примечание: это соотношение можно также получить, сравнивая наклоны кривой на участках 2 и 4 графика. Для этого заметим, что уровень воды на этих участках изменяется одинаково — на 1 см, следовательно, высота обоих грузов одинакова. По мере погружения груза в воду, увеличивается выталкивающая сила Архимеда, и, следовательно, уменьшается сила натяжения нити $T_{1}$. При погружении груза на $\Delta h$ в воду, сила Архимеда увеличивается, а сила натяжения нити уменьшается на $\rho_{0}gS \Delta h$, где $\rho_{0}$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $S$ — площадь сечения груза. Учитывая, что наклон 4-го участка вдвое больше наклона 2-го участка, можно заключить, что площадь сечения нижнего груза вдвое больше площади сечения верхнего. Учитывая, что высота грузов одинакова, а площади сечения отличаются вдвое, их объёмы, а следовательно, и силы Архимеда так же отличаются вдвое.