2018-05-17
Маленький переносной холодильник представляет собой закрытую сумку, стенки которой сделаны из материала с низкой теплопроводностью, с помещённым в неё пакетом со льдом. Температура в холодильнике поднялась до $4^{ \circ} С$ через 14 часов после того, как лёд начал таять. Через какое время температура в холодильнике поднялась бы до этого значения, если бы изначально почти весь лёд был растаявшим? Теплоёмкость воды — $4,2 кДж/кг \cdot К$, теплота плавления льда — $336 кДж/кг$. Теплоёмкостью сумки и пакета пренебречь. Мощность поступления тепла внутрь холодильника считать одинаковой и постоянной в этом температурном диапазоне. (Полученный результат даёт представление о соотношении длительностей работы холодильников, использующих фазовый переход и теплоёмкость.)
Решение:
Когда лёд начал таять, температура в холодильнике равнялась температуре плавления льда $T_{0} = 0^{ \circ} С$ и оставалась такой, пока весь лёд не растаял. Таким образом, в обоих рассматриваемых в задаче случаях температура в холодильнике вначале равнялась $T_{0}$.
Пусть $t_{1},t_{2}$ — время работы холодильника в первом и во втором случае, соответственно. Всё тепло, поступившее внутрь холодильника в течение времени $t_{1}$ в первом случае, пошло на плавление льда и на нагрев воды:
$Pt_{1} = \lambda m + cm (T - T_{0} )$, (1)
где $P$ — мощность поступления тепла внутрь холодильника, $m$ — масса льда в пакете, $\lambda$ — теплота плавления льда, $c$ — теплоёмкость воды, $T$ - конечная температура в холодильнике.
Тепло, поступившее внутрь холодильника в течение времени $t_{2}$ во втором случае, пошло лишь на нагрев воды (т.к. весь лёд уже расплавился):
$Pt_{1} = cm(T - T_{0} )$. (2)
Разделив (2) на (1) и выразив $t_{2}$, найдём:
$t_{2} = \frac{c(T - T_{0} ) }{ \lambda + c(T - T_{0} ) } t_{1}$.
Подставив численные значения, получим
ответ: $t_{2} = 40 мин$.