2018-05-17
Первоначально покоящейся проводящей перемычке массы $m$ и длины $l$ ударом сообщили скорость $v_{0}$, и она начала без трения скользить по горизонтальным проводящим рельсам, концы которых соединены последовательно включенными катушкой индуктивностью $L$ и первоначально разряженным конденсатором ёмкостью $C$. Вертикально приложено однородное магнитное поле с индукцией $B$. Пренебрегая сопротивлением перемычки и рельсов, найти максимальный ток $I_{m}$ в цепи.
Решение:
При движении перемычки в цепи возникает э.д.с. индукции $\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = - Blv$, где $\Phi$ - поток магнитного поля внутри цепи, $v$ — скорость перемычки. При этом падения напряжений на конденсаторе $q/C$ и на катушке $L \Delta I/ \Delta t$ равны в сумме этой э.д.с.:
$L \frac{ \Delta I}{ \Delta t} + \frac{q}{C} = - Blv$ (1)
Возникающий в результате ток в перемычке приводит к силе Ампера $F_{A} = IBl$, так что уравнение движения перемычки можно записать в виде:
$m \frac{dv}{dt} = IBl$, (2)
С учётом того, что $\Delta q = I \Delta t$, из (1) и (2) следует
$m(v - v_{0}) = -qBl$. (3)
Когда ток в цепи максимален, $\Delta I/ \Delta t = 0$.
В этом случае из (1) следует
$q = CBlv$. (4)
Из (3) и (4) найдём:
$v = \frac{v_{0} }{1 + CB^{2}l^{2}/m }, q = \frac{CBlv_{0} }{1 + CB^{2}l^{2}/m }$
и подставив эти выражения в закон сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{q^{2} }{2C} + \frac{LI^{2} }{2} + \frac{mv^{2} }{2}$,
получим ответ: $I_{m} = v_{0}Bl \sqrt{ \frac{C}{L (1 + CB^{2}l^{2}/m ) } }$.