2018-05-17
Открытая с обоих концов однородная тонкая трубка длиной $2L$, согнутая посередине в виде буквы V с углом $90^{ \circ}$ при вершине, расположена в вертикальной плоскости. Колена трубки составляют угол $45^{ \circ}$ с горизонтом. Трубка заполнена: левое колено наполовину маслом, наполовину водой, в правом колене — столбик воды длиной $5/6L$. Трубку начали медленно поворачивать вправо — из неё стала вытекать вода. При некотором угле правого колена относительно горизонта вместе с водой начало вытекать масло. Найдите этот угол. Эффектами поверхностного натяжения пренебречь.
Решение:
Пусть $\rho_{м}$ и $\rho_{в}$ — плотности масла и воды, соответственно. В начальном положении равенство давлений, создаваемых жидкостями в коленах, даёт:
$\left ( \rho_{м}g \frac{L}{2} + \rho_{в}g \frac{L}{2} \right ) \cos 45^{ \circ} = \rho_{в}g \frac{5L}{6} \sin 45^{ \circ}$.
Отсюда $\frac{ \rho_{м} }{ \rho_{в}} = \frac{2}{3}$. (1)
Масло начнет подниматься по правому колену и выливаться вместе с водой, когда нижний край столбика масла окажется в самой нижней точке левого колена. При этом всё правое колено заполнено водой. Равенство давлений, создаваемых жидкостями в коленах, теперь даёт:
$\rho_{м}g \frac{L}{2} \cos \alpha = \rho_{в} L \sin \alpha \Rightarrow tg \alpha = \frac{ \rho_{м} }{2 \rho_{в} }$. (2)
Отсюда с учетом (1) получим: $tg \alpha = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\alpha = arctg \frac{1}{3}$.