2018-05-17
Между двумя неподвижными опорами вертикально натянули резиновый жгут до натяжения $T_{0}$ (рис. а). Затем к середине жгута подвесили груз массы $m$ (рис. б) и отпустили (рис. в). Найти натяжение жгута над грузом ($T_{1}$) и под грузом ($T_{2}$) в новом положении равновесия. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Представим жгут на рис. а как два соединенных одинаковых жгута половинной длины. Пусть жесткость каждого $k$. Тогда, по закону Гука:
$T_{0} = k \Delta x$, (1)
где $\Delta x$ — растяжение каждого из жгутов. Пусть смещение груза относительно середины на рис. в равно $\Delta x^{ \prime}$. Тогда
$T_{1} = k( \Delta x + \Delta x^{ \prime})$. (2)
Если $\Delta x^{ \prime} < \Delta x$ (т.е. нижний жгут не провисает):
$T_{2} = k( \Delta x - \Delta x^{ \prime})$. (3)
Из (1) и (3) получим
$T_{1} + T_{2} =2T_{0}$. (4)
Равенство сил в новом положении равновесия даёт:
$T_{1} - T_{2} = mg$. (5)
Из (4) и (5) находим
$T_{1} = T_{0} + \frac{1}{2}mg, T_{2} = T_{0} - \frac{1}{2}mg$. (6)
Как следует из (6) нижний жгут провисает, если $T_{0} - mg/2 < 0$, т.е. когда $mg > 2T_{0}$. В этом случае равенство сил в новом положении равновесия даёт
$T_{1} = mg; T_{2} = 0$.
Ответ: $T_{1} = T_{0} + \frac{1}{2}mg, T_{2} = T_{0} - \frac{1}{2} mg$, если $mg < 2T_{0}$.
$T_{1} = mg, T_{2} = 0$, если $mg > 2T_{0}$.