2018-05-17
Пробирка, расположенная вертикально в поле тяжести, заполнена на 1/3 газом и на 2/3 жидкостью, Жидкость находится сверху и отделена от газа тонким невесомым поршнем. Трение поршня о пробирку отсутствует. Внешнее давление равно нулю. На какой минимальный угол а нужно отклонить пробирку от вертикали, чтобы поршень вылетел из пробирки? Температуру считать постоянной.
Решение:
Найдём положение равновесия поршня, когда пробирка отклонена на угол $\alpha$ от вертикали. Согласно закону Бойля-Мариотта ($PV = const$),
$Px = P_{0} \frac{L}{3}$, (1)
где $P$ — давление газа в пробирке, $P_{0}$ — первоначальное давление газа, $x$ — расстояние поршня от дна пробирки, $L$ — высота пробирки. Так как внешнее давление равно нулю, то давление газа уравновешивается давлением столбика жидкости над ним:
$P = \rho g(L - x) \cos \alpha$, (2)
Подставляя (2) и (3) в (1), получим уравнение для $x$:
$x^{2} - Lx + \frac{2L^{2} }{9 \cos \alpha} = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = L^{2} \left ( 1 - \frac{8}{ 9 \cos \alpha} \right )$ обращается в ноль при $\alpha = arccos(8/9)$. При $\alpha \leq arccos(8/9)$ дискриминант лежит в пределах $0 \leq D \leq L^{2}/9$, откуда следует, что корни уравнения лежат в пределах $L/3 \leq D \leq 2L/3$. Если же $\alpha > arccos(8/9)$, то $D < 0$ и равновесного положения поршня в пробирке не существует, т. е. поршень не может находиться в пробирке. Поэтому при «критическом» угле $\alpha = arccos(8/9)$ поршень вылетит из пробирки.
Ответ: $\alpha = arccos \left ( \frac{8}{9} \right )$.