2018-04-02
Стержень АВ расположен под углом $\alpha =60^{ \circ}$ к главной оптической оси собирающей линзы Л, причем его нижний конец А находится в двойном фокусе линзы, а верхний конец В лежит на перпендикуляре к главной оптической оси, проведенном через тройной фокус линзы (см. рис.).
1) Построить изображение стержня в линзе
2) На сколько градусов повернуто изображение стержня по отношению к самому стержню?
3) Каково линейное увеличение стержня в линзе?
Решение:
1) Для нахождения изображения отдельной точки в линзе достаточно провести два луча с известным продолжением после линзы
Один из лучей чаще всего выбирается тот, который проходит через центр линзы, не претерпевая излома.
Второй луч можно провести из точечного источника через левый двойной фокус собирающей линзы до плоскости линзы, а далее он должен пойти в правый двойной фокус.
В данной ситуации можно использовать один луч для двух точек В и А, проходящий через левый двойной фокус - ВАD, продолжение которого $DB^{ \prime}A^{ \prime}$ пройдет через правый двойной фокус. Далее проведя лучи $AOA^{ \prime}$ и $BOB^{ \prime}$ до пересечения с лучом $DB^{ \prime}A^{ \prime}$ получим изображение как двух точек $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$, так и самого стержня $A^{ \prime}B^{ \prime}$.
2) Как видно из построения, треугольники AOD и $A^{ \prime}OD$ одинаковы, так как у них одинаковы все стороны ($AO = A^{ \prime}O = 2F$). Поэтому углы $\angle OAD = \alpha = \angle OA^{ \prime}D = 60^{ \prime}$. Таким образом изображение повернуто относительно предмета на $120^{ \prime}$.
3) Рассчитаем расстояние $OC^{ \prime}$ с помощью формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{OC} + \frac{1}{OC^{ \prime} } \Rightarrow \frac{1}{OC^{ \prime} } = \frac{1}{F} - \frac{1}{3F} = \frac{2}{3F} \Rightarrow OC^{ \prime} = \frac{3}{2}F$
Линейное увеличение линзы для отрезка $CB = CA \cdot tg \alpha = F \cdot \sqrt{3}$ равно
$\Gamma = \frac{C^{ \prime}B^{ \prime} }{CB} = \frac{OC^{ \prime} }{OC} = \frac{3F/2}{3F} = \frac{1}{2}$. Таким образом катет $C^{ \prime}B^{ \prime} = \Gamma \cdot CB = \frac{ \sqrt{3}F}{2}$. Второй катет $C^{ \prime}A^{ \prime} = OA^{ \prime} - OC^{ \prime} = 2F - \frac{3}{2}F = \frac{1}{2}F$. Длина изображения
$A^{ \prime}B^{ \prime} = \sqrt{(C^{ \prime} A^{ \prime} )^{2} +(C^{ \prime} B^{ \prime} )^{2}} = \frac{F}{2} \sqrt{1 + 3} = F$.
Длина стержня $AB = \frac{CA}{ \cos \alpha } = 2F$. Линейное увеличение стержня равно $\Gamma_{ст} = \frac{A^{ \prime}B^{ \prime} }{AB} = \frac{1}{2}$.