2018-03-31
В половине шара радиуса $R$ из прозрачного стекла с коэффициентом преломления $n = 2$ сделано симметричное сферическое углубление так, что толщина стекла на линии центров сфер составляет $R/2$ (рис.). Точечный источник света помещен в точке А (центр внешней сферической поверхности). Где его видит наблюдатель, глаз которого находится вдали на линии центров сферических поверхностей?
Решение:
Найдем радиус кривизны углубления — внутренней сферической поверхности (рис.). Обозначая радиус кривизны внешней поверхности $r$ и внутренней $R$, получим из прямоугольного треугольника: $R^{2} = r^{2} + (R - r)^{2}$; отсюда $R = 1,25r$.
Теперь построим ход луча, испущенного источником (рис.). Для удобства мы будем изображать на рисунке лучи, падающие на сферические поверхности под достаточно большими углами (иначе ничего нельзя будет разобрать), но изображение формируется лучами, идущими под очень малыми углами к главной оптической оси — зрачок наблюдателя маленький и расположен далеко. Поэтому мы можем пользоваться стандартными упрощениями — для малых углов можно заменять синусы и тангенсы значениями самих углов, выраженными в радианах.
Итак, рассмотрим ход луча, испущенного под углом $\alpha$ к главной оси. Он попадет на внутреннюю сферическую поверхность на расстоянии $0,5r \alpha$ от оси. Нарисуем луч, падающий в эту точку из центра внутренней сферической поверхности $O_{1}$ (нормаль), пусть он составляет с главной осью угол $\beta$. Легко выразить этот угол через $\alpha: 0,5r \alpha = R \beta = 1,25r \alpha$, отсюда $\beta = 0,4 \alpha$. Угол падения луча с нормалью составит при этом $0,6 \alpha$ и после преломления на поверхности стекла с $n = 2$ получится угол $0,3 \alpha$ с нормалью. С главной оптической осью этот луч составляет угол $0,4 \alpha + 0,3 \alpha = 0,7 \alpha$. К второй сферической поверхности (внешней) луч подойдет изнутри на расстоянии $0,5r \alpha + 0,5r \cdot 0,7 \alpha = 0,85 r \alpha$ от главной оптической оси. Проведем нормаль к сферической поверхности в этой точке (радиус из точки О — центра этой поверхности), угол между этим радиусом и главной оптической осью получается $\gamma = 0,85r \alpha / r = 0,85 \alpha$, тогда угол падения составит $\gamma - 0,7 \alpha = 0,15 \alpha$ и после преломления он увеличится вдвое и составит $0,3 \alpha$. Вышедший луч составит угол $\gamma - 0,3 \alpha = 0,55 \alpha$ с главной оптической осью. Продолжение этого луча пересекается с главной оптической осью слева на расстоянии $L = 0,85r \alpha /0,55 \alpha = 17r/11 \approx 1,55r$ от места выхода луча (с учетом малости углов — от точки пересечения внешней сферической поверхности с главной оптической осью). Мы взяли произвольный малый угол падения луча источника на нашу "линзу", положение полученной точки не зависит от величины этого угла — узкий пучок лучей после преломления кажется исходящим из этой точки, следовательно, мы нашли положение изображения, наблюдаемого глазом.