2018-03-24
Два стержня одинаковой собственной длины $l_{0}$ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным $\Delta t$. Какова скорость одного стержня относительно другого?
Решение:
Зафиксируем координаты концов стержней в системе отсчета, привязанной к левому стержню. Точки B и D совпадают, отсюда
$l_{0} = c_{1} - vt_{0}$ или $t_{0} = \frac{ c_{1} - l_{0} }{v }$
Точки A и E совпадают, тогда
$0 = c_{1} + l_{0} \sqrt{ 1 - \beta^{2} } - vt_{1}, t_{1} = \frac{ c_{1} + l_{0} \sqrt{ 1- \beta^{2} } }{v}$
Таким образом, $\Delta t = t_{1} - t_{0} = \frac{l_{0} }{v} (1 + \sqrt{1 - \beta^{2} } )$ или $\left ( \frac{ v \Delta t }{l_{0} } - 1 \right )^{2} = 1 - \beta^{2} = 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} }$
Из этого $v = \frac{2c^{2} \Delta t / l_{0} }{ 1 + c^{2} \Delta t^{2} / l_{0}^{2} } = \frac{2l_{0}/ \Delta r }{ 1 + ( l_{0} / c \Delta t )^{2} }$