2018-03-24
Покоящийся прямой конус имеет угол полураствора $\theta = 45^{ \circ}$ и площадь боковой поверхности $S_{0} = 4,0 м^{2}$. Найти в системе отсчета, движущейся со скоростью $v = 4/5$ с вдоль оси конуса:
а) его угол полураствора; б) площадь боковой поверхности.
Решение:
В системе отсчета K, в которой конус находится в состоянии покоя, координаты A равны $(0,0,0)$ и B $(h, h tg \theta , 0)$. В системе отсчета $K^{ \prime}$, который движется со скоростью $v$ вдоль оси конуса, координаты A и B в момент времени $t^{ \prime}$
$A: (- vt^{ \prime}, 0,0), B: ( h \sqrt{1 - \beta^{2}} - vt^{ \prime}, h tg \theta, 0)$
Таким образом, угол конуса в системе отсчета $K^{ \prime}$ равен
$tg \theta^{ \prime} = \frac{ tg \theta }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \left ( = \frac{ y_{B}^{ \prime} - y_{A}^{ \prime} }{ x_{B}^{ \prime} - x_{A}^{ \prime} } \right )$
и площадь боковой поверхности равна
$S = \pi h^{ \prime 2} sec \theta^{ \prime} tg \theta^{ \prime} = \pi h^{2} ( 1 - \beta^{2} ) \frac{tg \theta }{ \sqrt{ 1 - \beta^{2} } } \sqrt{ 1 + \frac{tg^{2} \theta }{ 1 - \beta^{2} } } = S_{0} \sqrt{ 1- \beta^{2} \cos^{2} \theta }$
Здесь $S_{0} = \pi h^{2} sec \theta tg \theta$ площадь боковой поверхности в покоящийся системе отсчета и
$h^{ \prime} = h \sqrt{ 1 - \beta^{2} }, \beta = v/c$.