2018-03-24
Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость $v = c/2$, длина $l = 1,00 м$ и угол между ним и направлением движения $\theta = 45^{ \circ}$.
Решение:
В покоящийся системе отсчета координаты концов стержня в определениях собственной длины $l_{0}$
$A: (0,0,0) B: (l_{0} \cos \theta_{0}, l_{0} \sin \theta_{0},0)$
в момент времени $t$. В лабораторной системе отсчета координаты в момент времени $t^{ \prime}$
$A: (vt^{ \prime}, 0,0), B: \left ( l_{0} \cos \theta_{0} \sqrt{1 - \beta^{2} } + vt^{ \prime}, l_{0} \sin \theta_{0}, 0 \right )$
Поэтому мы можем написать,
$l \cos \theta_{0} = l_{0} \cos \theta_{0} \sqrt{ 1 - \beta^{2} }$ и $l \sin \theta = l_{0} \sin \theta_{0}$
следовательно $l_{0}^{2} = l^{2} \left ( \frac{ \cos^{2} \theta + (1 - \beta^{2} ) \sin^{2} \theta }{1 - \beta^{2} } \right )$
или, $ = \sqrt{ \frac{ 1 - \beta^{2} \sin^{2} \theta }{1 - \beta^{2} } }$