2018-03-18
Резиновую шайбу положили на наклонную плоскость с углом $\alpha$ при основании. Шайба начинает скользить и, пройдя некоторое расстояние вниз, абсолютно упруго сталкивается со стенкой, которая перпендикулярна наклонной плоскости. После удара шайба вверх по плоскости проходит до остановки половину своего пути вниз. Найти коэффициент трения между плоскостью и шайбой.
Решение:
Поскольку движение шайбы по наклонной плоскости происходит с постоянным ускорением (вниз — равноускоренное, вверх — равнозамедленное), легко связать пройденный шайбой путь и время ее движения с помощью средней скорости, которая для равнопеременного движения равна среднему арифметическому начального и конечного значений:
$L = \frac{V}{2} t_{1}$, (1)
$\frac{L}{2} = \frac{V}{2} t_{2}$. (2)
В соотношении (1), которое описывает движение вниз, $V$ и $t_{1}$ — соответственно конечная скорость шайбы (перед ударом о стенку) и время ее движения; поскольку начальная скорость шайбы равнялась нулю, средняя скорость оказалась равной $V/2$. Соотношение (2) описывает скольжение шайбы вверх до остановки. Здесь учтено, что удар шайбы о стенку абсолютно упругий, и обратный путь, пройденный вверх до остановки, вдвое меньше пути вниз. Поделив левые и правые части равенств (1) и (2), находим связь времен движений вниз и вверх: $t_{1} =2t_{2}$.
Поскольку изменения скорости при движении вниз и вверх численно равны, то ускорения $a_{1}$ и $a_{2}$ для этих этапов движения также отличаются вдвое:
$a_{1} = a_{2}/2$. (3)
Из второго закона Ньютона можно выразить $a_{1}$ и $a_{2}$ через коэффициент трения $\mu$ и угол $\alpha$:
$a_{1} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$, (4)
$a_{2} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$. (5)
C учетом соотношения (3) из выражений (4) и (5) находим $\mu$:
$\mu = \frac{1}{3} tg \alpha$.
Замечание. Соотношение (3) между ускорениями легко также получить и с помощью хорошо известной формулы кинематики:
$V_{x}^{2} - V_{0}^{2} = 2a_{x}S_{x}$.