2018-03-18
По наклонной грани клина, неподвижно стоящего на шероховатом горизонтальном столе, соскальзывает из верхней точки кубик массой $m$. Эта грань, ориентированная под углом $\alpha$ к горизонту, состоит из двух участков длиной $L$ каждый: верхнего — на котором коэффициент трения меняется по закону $\mu = (x/L) tg \alpha$ (ось $x$ направлена вдоль наклонной грани клина, на вершине $x = 0$) и нижнего — $c \mu = (x/L - 1) tg \alpha$. Построить график зависимости от времени силы трения, действующей на клин со стороны стола и обеспечивающей неподвижность клина. Начальная скорость кубика равна нулю.
Указание. Наиболее простое решение получается на основе аналогии между движением кубика на участке с переменным коэффициентом трения и колебаниями груза на пружине.
Решение:
На верхнем участке второй закон Ньютона в проекции на ось x приводит к уравнению, которое отличается от уравнения гармонического осциллятора только наличием константы в правой части:
$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{L} x = g \sin \alpha$,
где $g$ — ускорение свободного падения. Решение данного уравнения имеет вид
$x = L \left [ 1 - \cos \left ( t \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{L} } \right ) \right ]$.
При этом скорость кубика $v_{x}$ изменяется по закону
$v_{x} = \sqrt{gL \sin \alpha} \cdot \sin \left ( t \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{L} } \right )$.
Обе формулы справедливы до момента $t_{0} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha } }$, после которого кубик попадает на нижний участок. На этом участке движение кубика описывается уравнением
$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{L} x = 2g \sin \alpha$.
Учитывая, что скорость кубика не меняется в точке перехода $x = L$, запишем решение на нижнем участке
$x = L \left [ 2 + \sqrt{2} \cos \left ( t \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{L} + \frac{3 \pi }{4} } \right ) \right ]$.
Сила трения, действующая на клин со стороны стола, равна произведению массы кубика на горизонтальную составляющую ускорения кубика:
$F_{тр} = mg \sin \alpha \cos \alpha \cos \left ( t \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{L} } \right )$
при $0 < t \leq \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}$ (в этом случае кубик движется по верхнему участку),
$F_{тр} = \sqrt{2} mg \sin \alpha \cos \alpha \cos \left ( t \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{L} - \frac{ \pi}{4} } \right )$
при $\frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha} } < t < \frac{3 \pi}{4} \sqrt{ \frac{L}{g \sin \alpha}}$ (кубик движется по нижнему участку).
В соответствии с этими формулами нетрудно построить искомый график.