2018-03-18
Конструкция в виде квадрата из четырех шарнирно соединенных жестких стержней подвешена за одну из вершин (см. рис.). Найти силу натяжения нити, скрепляющей противоположные вершины квадрата. Массы стержней указаны на рисунке.
Решение:
Обозначим стержни правой половины конструкции через 1 и 2 (см. рис.). Записывая условия равенства нулю суммы моментов сил, действующих на стержни (для 1-го — относительно точки A, для 2-го — относительно точки B) и учитывая, что 2-й стержень вдвое тяжелее 1-го, получаем:
$\sin \alpha = 2 \sin \beta$.
Поскольку $\alpha + \beta = \pi/2$, то $\sin \alpha = 2/ \sqrt{5}, \cos \alpha = 1/ \sqrt{5}$. Из условия равновесия любого из стержней, например 2-го, которое можно записать в виде $F_{12} L \sin \alpha = 2mg(L/2) \cos 45^{ \circ}$ ($L$ — длина стержня), находим $F_{12} = F_{21} = mg \sqrt{10}/4$. Приравнивая нулю сумму сил, действующих по вертикали на систему из двух нижних стержней, находим силу натяжения нити
$F = 4mg - 2F_{12} \sin ( \alpha - 45^{ \circ}) = mg \left [ 4 - \frac{ \sqrt{10} }{2} \sin ( \alpha - 45^{ \circ} ) \right ] = 3,5 mg$.