2018-03-18
Колонна бегущих спортсменов, имеющая длину $L$, движется с постоянной скоростью по обочине шоссе. Машина с тренером обгоняет колонну, двигаясь с втрое большей скоростью. Каждый спортсмен, с которым поравнялась машина, разворачивается и бежит в обратном направлении с прежней скоростью. Какой будет длина колонны, когда развернется последний спортсмен?
Решение:
Колонна будет иметь длину 2L.
Скорость машины относительно бегущих в исходном направлении спортсменов равна $2V$, где $V$ — скорость спортсменов. Поэтому время разворота колонны составит $L/(2V)$. За это время первый развернувшийся пробежит $L/2$ в обратном направлении, а последний развернувшийся пробежит $L/2$ в исходном направлении. Поскольку перед началом разворотов первого и последнего разделяла дистанция $L$, длина новой колонны будет $L + L/2 + L/2 = 2L$.
Возможно и более короткое решение. За время разворота колонны первый развернувшийся спортсмен удалится от машины на расстояние $4V \cdot L/(2V) = 2L$. Это и будет длина развернувшейся колонны.