2018-03-10
Зеркало антенны радиолокатора, работающего на волне $\lambda = 0,3 м$, представляет собой параболоид вращения с «выходным» диаметром $d = 6 м$, в фокусе которого (глубоко внутри параболоида) расположен точечный излучатель энергии. Эта же антенна используется для приема отраженного от самолета сигнала. Мощность излучателя $P_{н} = 2 \cdot 10^{5} Вт$. Минимальная мощность сигнала на входе антенны, необходимая для нормальной работы, $P_{min} = 1 \cdot 10^{ -13} Вт$. Оцените максимальную дальность обнаружения локатором самолета, площадь поверхности отражения которого $S = 5 м^{2}$. Считать, что мощность отраженного сигнала в $n = 10$ раз меньше мощности падающего сигнала и отражение происходит равномерно во все стороны.
Решение:
Для увеличения предельной дальности работы радиолокатора увеличивают мощность передатчика, разрабатывают приемные устройства высокой чувствительности, применяют антенны с очень высокой направленностью.
Чем определяется направленность антенны?
Согласно законам геометрической оптики, точечный источник, помещенный в фокусе параболоида, дает после отражения параллельный пучок лучей (угол расходимости пучка равен нулю). В этом случае освещенность объекта, попавшего в луч, не зависит от расстояния до отражателя.
На самом деле угол расходимости пучка не равен нулю и определяется дифракцией.
Для приближенного расчета пучка удобно воспользоваться такой моделью: плоская электромагнитная волна (какая получилась бы при отражателе очень больших размеров) падает на непрозрачный экран, в котором проделано круглое отверстие диаметра $d$ ($d$ - диаметр зеркала). Будем приближенно считать, что направление на первый минимум в этом случае соответствует углу
$\alpha = \lambda /d$.
В нашем случае угол $\alpha$ довольно мал, что позволяет упростить дальнейший расчет. На очень большом расстоянии $L$ от зеркала радиус «освещенного» пятна $r = \alpha L$ и на самолет с площадью поверхности $S$ попадает мощность $P_{c} = P_{н}S/ \pi r^{2}$ (мы приближенно принимаем, что освещенность в пределах всего пятна одна и та же). По условию задачи отраженный от самолета сигнал равномерно распределяется во все стороны. Мощность принятого сигнала $P_{пр}$, попадающего обратно на антенну, равна
$P_{пр} = P_{c} n \frac{ \pi d^{2} /4 }{4 \pi L^{2}} = P_{и} \frac{n Sd^{4} }{16 \pi \lambda^{2}L^{4} }$
Максимальная дальность $L_{max}$ соответствует пороговой чувствительности приемника. Из условия $P_{пp} = P_{min}$ находим
$L_{max} = \sqrt{ \frac{P_{и} }{P_{min} } \frac{nSd^{4} }{16 \pi \lambda^{2} } } \approx 1,3 \cdot 10^{5} = 120 км$.