2014-06-01
К концу однородной палочки массой $M = 4,4 г$ подвешен на невесомой нити однородный алюминиевый шарик радиуса $r = 0,5 см$. Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь такого положения равновесия, при котором погруженной в воду окажется половина шарика (рис.). Плотность алюминия равна $\rho_{ал} = 2,7 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Определите, в каком отношении $y/x$ делится длина палочки в этом случае. Поверхностным натяжением на границе шарика и воды пренебречь.
Решение:
Пусть $x$ - длина части палочки, свешивающейся внутрь стакана, а $y$ - длина ее наружной части. Тогда длина палочки равна $x+y $. Центр палочки находится на расстоянии $(x+y)/2$ от ее концов и на расстоянии $(y-x)/2$ от наружного края. Условия равновесия получим из равенства нулю суммы моментов сил относительно края стакана:
$(F_{ш}-F_{А})x = Mg (y-x)/2$,
где $F_{ш} = m_{ш}g = \rho_{ал} gV$ - сила тяжести шарика, а $F_{А}=\rho_{в} gV/2$ - выталкивающая сила (сила Архимеда), причем $V = (4/3) \pi r^{3}$ - объем шарика.
Искомое отношение равно
$y/x = 1 + 2 (F_{ш}-F_{А})/(Mg) \approx 1,5$