2014-06-01
На нити, перекинутой через два блока, подвешены три груза, массы которых равны $m_{1}, m_{2}$ и $M$ (рис.). Блоки находятся на одинаковой высоте от точек подвеса. Найдите соотношения между массами грузов, при которых вся система будет находиться в состоянии равновесия. Всегда ли эти условия осуществимы? Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим два пути решения задачи.
1. Условия равновесия грузов имеют вид (рис.)
$T_{1}=m_{1}g,T_{2}=m_{2}g$,
$Mg=T_{1} \sin \alpha_{1} + T_{2} \sin \alpha_{2}, T_{1} \cos \alpha_{1} = T_{2} \cos \alpha_{2}$.
Из этих соотношений можно найти углы, соответствующие положению равновесия системы:
$\sin \alpha_{1} = \frac{M^{2} – m^{2}_{2} + m^{2}_{1}}{2Mm_{1}}, \sin \alpha_{2} = \frac{M^{2} – m^{2}_{1} + m^{2}_{2}}{2Mm_{2}} $.
Очевидно, что равновесие осуществимо не всегда. Действительно, для равновесия необходимо выполнение условий $0 < \alpha_{1} < \pi/2$ и $0 < \alpha_{2} < \pi/2$, т. е.
$0 < \frac{M^{2}-m^{2}_{2}+m^{2}_{1}}{2Mm_{1}} < 1, 0< \frac{M^{2}-m_{1}^{2} + m^{2}_{2}}{2Mm_{2}}<1$
Из этих неравенств следует, что вся система будет находиться в равновесии лишь при выполнении условий
$M < m_{1} + m_{2}, M^{2} > |m^{2}_{1} – m^{2}_{2}|$.
2. Рассмотрим равновесие узла А. В этом случае на него действуют три силы:
$T_{1}=m_{1}g, T_{2}=m_{2}g , T_{3}=Mg $.
Для равновесия узла необходимо, чтобы три силы $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ образовали треугольник. Поскольку в треугольнике сумма длин двух сторон не меньше третьей, получим соотношение между массами $m_{1},m_{2},M$, обеспечивающее равновесие узла А :
$m_{1}+m_{2}>M, M + m_{1} > m_{2}, M+m_{2}>m_{1}$.